Question

【題目】定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．

下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖a所示．

操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處，折痕為AH．

操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為矩形．

（1）證明：四邊形ABCD為矩形；

（2）點M是邊AB上一動點．

①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；

②若AM=AD，點N在邊BC上，當△DMN的周長最小時，求的值；

③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB=2，則DR的最小值= ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），2.

【解析】

（1）先判斷出∠DAG=45°，進而判斷出四邊形ABCD是矩形，再求出AB：AD的值，即可得出結論；

（2）①如圖b，先判斷出四邊形BQOP是矩形，進而得出，再判斷出Rt△QON∽Rt△POM，進而判斷出，即可得出結論；

②作M關于直線BC對稱的點P，則△DMN的周長最小，判斷出，得出AB=CD=a．進而得出BP=BM=AB-AM=（-1）a．即可得出結論；

③先求出BC=AD=2，再判斷出點R是BC為直徑的圓上，即可得出結論．

證明：（1）設正方形ABEF的邊長為a，

∵AE是正方形ABEF的對角線，

∴∠DAG=45°，

由折疊性質可知AG=AB=a，∠FDC=∠ADC=90°，

則四邊形ABCD為矩形，

∴△ADG是等腰直角三角形．

∴，

∴．

∴四邊形ABCD為矩形；

（2）①解：如圖，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分別為P，Q．

∵四邊形ABCD是矩形，∠B=90°，

∴四邊形BQOP是矩形．

∴∠POQ=90°，OP∥BC，OQ∥AB．

∴．

∵O為AC中點，

∴OP=BC，OQ=AB．

∵∠MON=90°，

∴∠QON=∠POM．

∴Rt△QON∽Rt△POM．

∴．

∴．

②解：如圖c，作M關于直線BC對稱的點P，連接DP交BC于點N，連接MN．則△DMN的周長最小，

∵DC∥AP，

∴，

設AM=AD=a，則AB=CD=a．

∴BP=BM=AB-AM=（-1）a．

∴，

③如備用圖，

∵四邊形ABCD為矩形，AB=2，

∴BC=AD=2，

∵BR⊥CM，

∴點R在以BC為直徑的圓上，記BC的中點為I，

∴CI=BC=1，

∴DR最小=-1=2

故答案為：2