Question

已知△ABC，AB=AC=2，∠A=90°，取含45°角的直角三角尺，將45°的頂點(diǎn)放在BC中點(diǎn)O處，并繞點(diǎn)O處順時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角尺，當(dāng)45°角的兩邊分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)，如圖2，設(shè)CF=x，BE=y．
（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的范圍；
（2）三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△OEF能否成為等腰三角形？如果能，求出相應(yīng)的x值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如果以O(shè)為圓心的圓與AB相切，探究三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，EF與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，OGAH是邊長(zhǎng)為1的正方形，把△OEH繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△ORG，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ORF≌△OEF，然后可以得到EF=RF=HE+GF，而AE=2-x，AF=2-y，接著在Rt△AEF中，利用勾股定理即可求出y與x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；
 （2）能，若△OEF能否成為等腰三角形，有三種情況：
①OE=OF，那么E、F關(guān)于直線(xiàn)AO對(duì)稱(chēng)，那么AE=AF，由此列出方程解決問(wèn)題；
②OE=EF，那么OE²=EH²+HO²=（x+y-2）²，解方程即可求解；
 ③OF=EF，那么OF²=GF²+OG²=（x+y-2）²，解方程即可求解；
（3）如圖，根據(jù)（2）若AE=AF，E、F關(guān)于AO對(duì)稱(chēng)，此時(shí)EF與O之間的結(jié)論可以求出為1，也可以⊙O的半徑為1，由此可以判定⊙O與EF相切，其他位置是相交．
解答：解：（1）如圖，OGAH是邊長(zhǎng)為1的正方形，
把△OEH繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△ORG，
∴△ORF≌△OEF，
∴EF=RF=HE+GF=x-1+y-1=x+y-2
而AE=2-x，AF=2-y，
在Rt△AEF中，
（2-x）²+（2-y）²=（x+y-2）²，
化簡(jiǎn)即得：xy=2，
即y=（1≤x≤2）；

（2）能，
若△OEF能否成為等腰三角形，
①OE=OF，那么E、F關(guān)于直線(xiàn)AO對(duì)稱(chēng)，那么AE=AF，
∴2-x=2-y，而y=，
∴x=；
②OE=EF，OE²=EH²+HO²=（x+y-2）²，
∴y=2，即x=1，
③OF=EF，OF²=GF²+OG²=（x+y-2）²，
∴y=1，即x=2．

（3）如圖，設(shè)⊙與AB相切，根據(jù)圓和等腰三角形的對(duì)稱(chēng)性得到AC與圓也相切，
切點(diǎn)為D，連接OD，過(guò)E作EH⊥OB與H，
∵O為BC的中點(diǎn)，AB=2
∴OD=1，
根據(jù)（2）若EF∥BC，那么E、F關(guān)于AO對(duì)稱(chēng)，此時(shí)BE=，
在Rt△EHB中，∠B=45°，
∴EH=1=OD，
∴EF與⊙O相切，
當(dāng)EF在其他位置，EF與⊙O相交．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的旋轉(zhuǎn)與判定、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理及切線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)才能很好解決問(wèn)題．