Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB=45°，∠ABC=120°，延長(zhǎng)CB到D，使DB=2BC，連接AD，求證：AD切⊙O于點(diǎn)A．

Answer 1

分析：連接OA，OB，OC，由∠ABC和∠ACB的度數(shù)求出∠AOB，∠OAC，∠OCA和∠COE的度數(shù)，利用直角三角形以及等腰三角形得到AE與EC的關(guān)系，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段的比相等判定AD與OB平行，再用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到∠OAD=90°，判定AD切⊙O于點(diǎn)A．

解答：證明：如圖：連接OA，OB，OC，且OB交AC于E，
∵∠ACB=45°，∠ABC=120°，∴∠AOB=90°，∠E0C=∠ECO=∠OAE=30°，
在直角△AOE中，設(shè)OE=a，則AE=2a，EC=a，
∴

EC

AE

=

a

2a

=

1

2

，
又∵DB=2BC，∴

BC

DB

=

1

2

．
∴

EC

AE

=

BC

DB

=

1

2

，
∴OB∥AD，
∴∠OAD=∠AOB=90°．
所以AD切⊙O于點(diǎn)A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，根據(jù)題目的條件求出相應(yīng)的角的度數(shù)，利用線段的比相等判定兩直線平行，用兩直線平行同位角相等得到∠OAD=90°，證明AD切⊙O于點(diǎn)A．