Question

如圖，已知點P是線段AB上一動點（不與端點A，B重合），△APC和△PBD都是等邊三角形，連接AD、BC交于點I，并與PC、PD交于點E、F，則有下列結論：①AD=BC；②等邊△PEF；③∠CID=120°；④∠ECF=∠EDF，其中正確的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據(jù)SAS定理得出△APD≌△CPB，由全等三角形的性質即可得出AD=BC，故①正確；由平角的定義可得出∠EPF=60°，再根據(jù)SAS定理可得出△APE≌△CPF，故可得出PE=PF，即△PEF是等邊三角形，故②正確；由①可知∠PAD=∠PCB，故∠CAE+∠ACP=∠CAP+∠ACP=120°，因為∠CID是△ACI的外角，故∠CID=∠CAE+∠ACP=120°，故③正確；由于AP≠PD，所以∠PAE≠∠EDF，由①知，∠PAD=∠ECF，故∠ECF≠∠EDF，故④錯誤．

解答：解：∵△APC和△PBD都是等邊三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠BPC=120°，
在△APD與△CPB中，

PD=PB ∠APD=∠BPC AP=PC

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC，故①正確；
∵∠APC=∠BPD=60°，
∴∠EPF=60°，
∵△APD≌△CPB，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE與△CPF中，

∠PAE=∠PCF PA=PC ∠APC=∠CPD

∴△APE≌△CPF（ASA），
∴PE=PF，即△PEF是等邊三角形，故②正確；
∵由①可知∠PAD=∠PCB，
∴∠CAE+∠ACP=∠CAP+∠ACP=120°，
∵∠CID是△ACI的外角，
∴∠CID=∠CAE+∠ACP=120°，故③正確；
∵AP≠PD，
∴∠PAE≠∠EDF，由①知，∠PAD=∠ECF，
∴∠ECF≠∠EDF，故④錯誤．
故選C．

點評：本題考查的是全等三角形的判定與性質，熟知SAS，ASA，SSS，HL等判定定理是解答此題的關鍵．