Question

【題目】如圖1，在矩形中，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，連接.

（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi) ；

（2）當(dāng)平分時(shí)，判斷與的位置關(guān)系.說(shuō)明理由，并求出的長(zhǎng)；

（3）如圖2，當(dāng)與交于兩點(diǎn)，且時(shí)，求點(diǎn)到的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）與相切，理由見(jiàn)解析，的長(zhǎng)為；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，得到PC=2PD，再利用勾股定理即可求出PC的值；

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得到與相切，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義得到，在中，表達(dá)出，列出方程即可求出PD的值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，連接，由（2）可知，表達(dá)出AP，PH，利用垂徑定理即可求出PD和PH．

解：（1）∵當(dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，

∴PC=2PD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，DC=AB=9，

∴在Rt△PCD中，PD2+DC2=PC2，

即，

解得：PD=，

∴PC=2PD=，

故答案為：．

∴sin∠PCD=，

（2）與相切，

理由如下：

如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

平分，

，

與相切于點(diǎn)．

四邊形是矩形，

在中，，

，

設(shè)半徑為，

則，．

在中，

，即的長(zhǎng)為．

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，連接．由（2）可知：

在中，

設(shè)半徑為，

則．

在中，

在中，

(舍)．

，

，

即點(diǎn)到的距離為．