Question

【題目】已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3.

操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點B落在邊CD上．

探究：⑴如圖1，若點B與點D重合，你認為和全等嗎？如果全等，請給出證明，如果不全等，請說明理由；

⑵如圖2，若點B與CD的中點重合，請你判斷和之間的關系，如果全等，只需寫出結果，如果相似，請寫出結果和相應的相似比；

⑶如圖2，請你探索，當點B落在CD邊上何處，即的長度為多少時，與全等．

Answer 1

【答案】(1)全等，理由見解析；（2）△B1DG和△EA1G全等,△FCB1與△B1DG相似，相似比為4:3；（3）當B1C=3時,△FCB1與△B1DG全等.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折疊的性質可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可證得∠A1DE=∠CDF，則可利用ASA證得△EDA1和△FDC全等；

（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1與△B1DG相似，然后設FC=x，由勾股定理可得方程x2+12=（3-x）2，解此方程即可求得答案；

（3）設B1C=a，則有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，解此方程即可求得答案．

(1)全等，

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90，AB=CD，

由題意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90，CD=A1D，

∴∠A1=∠C=90，∠CDF+∠EDF=90，

∴∠A1DE=∠CDF，

在△EDA1和△FDC中，

，

∴△EDA1≌△FDC(ASA)；

（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1與△B1DG相似，

設FC=x，則B1F=BF=3x，B1C=DC=1，

∴x2+12=(3x)2，

∴x=，

∴△FCB1與△B1DG相似，相似比為4:3.

(3)△FCB1與△B1DG全等，

設B1C=a，則有FC=B1D=2a，B1F=BF=1+a，

在直角△FCB1中，可得(1+a)2=(2a)2+a2，

整理得a26a+3=0，

解得：a=3 (另一解舍去)，

∴當B1C=3時，△FCB1與△B1DG全等.