Question

已知：如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為2，點(diǎn)P和Q分別從A和C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，做勻速運(yùn)動(dòng)，且它們的速度相同．點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng)，設(shè)PQ與直線AC相交于點(diǎn)D，作PE⊥AC于E，當(dāng)P和Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長是否改變？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點(diǎn)F，易證△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四邊形PEQF是平行四邊形，即DE=

1

2

EF，等量代換得，DE=

1

2

AC，根據(jù)已知，即可得出DE的長為定值；

解答：解：當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．理由如下：
作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點(diǎn)F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ=∠AEP=90°，
∵點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，
∴在△APE和△CQF中

AP=CQ ∠A=∠FCQ ∠AEP=∠CFQ=90°

，
∴△APE≌△CQF，
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC，
又∵等邊△ABC的邊長為2，
∴DE=1，
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．

點(diǎn)評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，是解答本題的關(guān)鍵．