Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合)，沿折疊該紙片，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)；

①求證：；

②直接寫出四邊形的面積；

（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)（，）或（，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A和B的坐標(biāo)得出OA=，OB=2，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B=，即可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（，2）；

（2）①由直角三角形斜邊上的中線得∠1=∠2=30゜，由折疊得∠3=∠4=30゜，故可得，從而可得結(jié)論；

②由折疊得，根據(jù)直角三角形中30゜角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得，進(jìn)一步可求出四邊形的面積；

（3）分兩種情況：①易得∠APA'=150°，連接AA′，延長(zhǎng)OP交AA′于E，則∠APE=75°，∠OPB=75°，求出AB=，則∠BAO=30°，∠OBA=60°，推出∠BA′P=30°，∠OPA′=105°，得出∠A′OP=45°，則點(diǎn)A'在y軸上，∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+2，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質(zhì)求出PM=PA=，把y=代入y=-x+1求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．

(1)解: ∴，，

∴，.

∵折疊得到，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴.

（2）①證明:如圖，在中，，

為的中點(diǎn)，即為中線，

∴，

∴，

∴.

又∵ 折疊得到，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴，

∴，

∴，

∴.

②過點(diǎn)作軸，

在Rt△ABO中，OA=，OB=2，

∴AB=，

∵P是AB的中點(diǎn)，

∴AP=BP=2，OP=AB=2，

∴OB=OP=BP

∴

∴，

∵OB∥PA'，

∴四邊形OPA'B是平行四邊形，

由①得，

∴

∴四邊形OPA'B的面積為；

（3）設(shè)P（x，y），分兩種情況：

①∵∠BPA'=30°，

∴∠APA'=150°，

連接AA′，延長(zhǎng)OP交AA′于E，如圖③所示：

則∠APE=75°，

∴∠OPB=75°，

∵OA=，OB=1，

∴AB==4，

∵∠OBA=60°，

∴

∴

∵∠BPA'=30°，

∴∠OPA′=105°，

∴∠A′OP=180°-30°-105°=45°，

∴點(diǎn)A'在y軸上，

∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，

∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

把點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)B（0，1）代入得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=-x+2，

∵點(diǎn)P在∠AOB的一部分線上

∴P（x，x），

∴x=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

②如圖④所示：

由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四邊形OAPA'是菱形，

∴PA=OA=，

作PM⊥OA于M，如圖④所示：

∵∠A=30°，

∴PM=PA=，

把y=代入y=-x+2得：=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

綜上所述：當(dāng)∠BPA'=30°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．