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        1. (2013•天津)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸是直線l,頂點(diǎn)為點(diǎn)M.若自變量x和函數(shù)值y1的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示:
          (Ⅰ)求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (Ⅱ)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)T(0,t)作垂直于y軸的直線l′,A為直線l′上的動(dòng)點(diǎn),線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,記P(x,y2).
          (1)求y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí),若對(duì)于同一個(gè)x,有y1<y2恒成立,求t的取值范圍.
          x -1 0 3
          y1=ax2+bx+c 0
          9
          4
          0
          分析:(I)先根據(jù)物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,
          9
          4
          )得出c的值,再把點(diǎn)(-1,0)、(3,0)代入拋物線y1的解析式即可得出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (II)先根據(jù)(I)中y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
          ①記直線l與直線l′交于點(diǎn)C(1,t),當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C不重合時(shí),由已知得,AM與BP互相垂直平分,故可得出四邊形ANMP為菱形,所以PA∥l,再由點(diǎn)P(x,y2)可知點(diǎn)A(x,t)(x≠1),所以PM=PA=|y2-t|,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q(1,y2),故QM=|y2-3|,PQ=AC=|x-1|,在Rt△PQM中,根據(jù)勾股定理即可得出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式,再由當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)P重合可得出P點(diǎn)坐標(biāo),故可得出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          ②據(jù)題意,借助函數(shù)圖象:當(dāng)拋物線y2開(kāi)口方向向上時(shí),可知6-2t>0,即t<3時(shí),拋物線y1的頂點(diǎn)M(1,3),拋物線y2的頂點(diǎn)(1,
          t+3
          2
          ),由于3>
          t+3
          2
          ,所以不合題意,當(dāng)拋物線y2開(kāi)口方向向下時(shí),6-2t<0,即t>3時(shí),求出y1-y2的值;若3t-11≠0,要使y1<y2恒成立,只要拋物線方向及且頂點(diǎn)(1,
          3-t
          2
          )在x軸下方,因?yàn)?-t<0,只要3t-11>0,解得t>
          11
          3
          ,符合題意;若3t-11=0,y1-y2=-
          1
          3
          <0,即t=
          11
          3
          也符合題意.
          解答:解:(Ⅰ)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,
          9
          4
          ),
          ∴c=
          9
          4

          ∴y1=ax2+bx+
          9
          4
          ,
          ∵點(diǎn)(-1,0)、(3,0)在拋物線y1=ax2+bx+
          9
          4
          上,
          a-b+
          9
          4
          =0
          9a+3b+
          9
          4
          =0
          ,解得
          a=-
          3
          4
          b=
          3
          2
          ,
          ∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:y1=-
          3
          4
          x2+
          3
          2
          x+
          9
          4
          ;

          (II)∵y1=-
          3
          4
          x2+
          3
          2
          x+
          9
          4
          ,
          ∴y1=-
          3
          4
          (x-1)2+3,
          ∴直線l為x=1,頂點(diǎn)M(1,3).
          ①由題意得,t≠3,
          如圖,記直線l與直線l′交于點(diǎn)C(1,t),當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí),
          ∵由已知得,AM與BP互相垂直平分,
          ∴四邊形ANMP為菱形,
          ∴PA∥l,
          又∵點(diǎn)P(x,y2),
          ∴點(diǎn)A(x,t)(x≠1),
          ∴PM=PA=|y2-t|,
          過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q(1,y2),
          ∴QM=|y2-3|,PQ=AC=|x-1|,
          在Rt△PQM中,
          ∵PM2=QM2+PQ2,即(y2-t)2=(y2-3)2+(x-1)2,整理得,y2=
          1
          6-2t
          (x-1)2+
          t+3
          2
          ,
          即y2=
          1
          6-2t
          x2-
          1
          3-t
          x+
          10-t2
          6-2t
          ,
          ∵當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)P重合,
          ∴P(1,
          t+3
          2
          ),
          ∴P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式,
          ∴y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=
          1
          6-2t
          x2-
          1
          3-t
          x+
          10-t2
          6-2t
          (t≠3);

          ②根據(jù)題意,借助函數(shù)圖象:
          當(dāng)拋物線y2開(kāi)口方向向上時(shí),6-2t>0,即t<3時(shí),拋物線y1的頂點(diǎn)M(1,3),拋物線y2的頂點(diǎn)(1,
          t+3
          2
          ),
          ∵3>
          t+3
          2
          ,
          ∴不合題意,
          當(dāng)拋物線y2開(kāi)口方向向下時(shí),6-2t<0,即t>3時(shí),
          y1-y2=-
          3
          4
          (x-1)2+3-[
          1
          6-2t
          (x-1)2+
          t+3
          2
          ]
          =
          3t-11
          4(3-t)
          (x-1)2+
          3-t
          2
          ,
          若3t-11≠0,要使y1<y2恒成立,
          只要拋物線y=
          3t-11
          4(3-t)
          (x-1)2+
          3-t
          2
          開(kāi)口方向向下,且頂點(diǎn)(1,
          3-t
          2
          )在x軸下方,
          ∵3-t<0,只要3t-11>0,解得t>
          11
          3
          ,符合題意;
          若3t-11=0,y1-y2=-
          1
          3
          <0,即t=
          11
          3
          也符合題意.
          綜上,可以使y1<y2恒成立的t的取值范圍是t≥
          11
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到待定系數(shù)法二次函數(shù)解的解析式、勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì),解答此類(lèi)題目時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
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          (Ⅲ)當(dāng)-3<x<-1時(shí),求y的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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          (Ⅱ)如圖②,將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′,連接A′B、BE′.
          ①設(shè)AA′=m,其中0<m<2,試用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo);
          ②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí),求點(diǎn)E′的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

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