Question

（2013•天津）已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點(diǎn)D．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)直線l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)直線l與⊙O相交于點(diǎn)E、F時(shí)，若∠DAE=18°，求∠BAF的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖①，首先連接OC，根據(jù)當(dāng)直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥l于點(diǎn)D．易證得OC∥AD，繼而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEF的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠B的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；

（Ⅱ）如圖②，連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°-108°=72°，
∴∠BAF=90°-∠B=90°-72°=18°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．