Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，將△ADC繞點A順時針旋轉，使AC與AB重合，點D落在點E處，AE的延長線交CB的延長線于點M，EB的延長線交AD的延長線于點N．

求證：AM=AN．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】證明：∵△AEB由△ADC旋轉而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。

∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。

∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。

∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。

又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）。∴AM=AN。

根據旋轉的性質可得△AEB≌△ADC，根據全等三角形對應角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，結合等腰三角形三線合一的性質即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，從而推出∠MBA=∠NBA，然后根據“角邊角”證明△AMB≌△ANB，根據全等三角形對應邊相等即可得證。