Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（    ,    ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（   ,     ）；

（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長(zhǎng)；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在

解析:因?yàn)椤鱋AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，所以O(shè)B=OC=1，OA=OD=2所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，0) ……………… 2分

（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1

又∠1＝∠5，∠4＝∠3

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法二：設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b

由（1）得

解得

∴直線CD的解析式為y＝ x＋1

又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法三

∵  ∴  

∴M的坐標(biāo)為(，)                                    ………………2分

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，則ME＝，BE＝

∴BM＝ ＝                             ………………2分

（3）存在                

分兩種情況討論：

① 以BM為腰時(shí)

∵BM＝，又點(diǎn)P在y軸上，且BP＝BM

時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∵∠BMC＝90°，

則△BME∽△BCM

∴＝

∴BE＝＝

又∵BM＝BP

∴PE＝BE＝

∴BP＝

∴OP＝2－＝

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₃ (0，)          ……………1分

② 以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，

由（2）得∠BMC＝90°，

∴PF∥CM

∵F是BM的中點(diǎn)，

∴BP＝BC＝

∴OP＝

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₄ (0，)  ……………… 1分

綜上所述點(diǎn)P有四個(gè)：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)