Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧CBA上一點(diǎn)（不與A、C重合）
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到弧CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OBPC是什么特殊的四邊形，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC為等邊三角形，可得出三個(gè)內(nèi)角都為60°，再由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，得到∠APC為30°，由CD為圓O的切線(xiàn)，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到弧CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OBPC是菱形，由∠AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120°，再由P為弧BC的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧對(duì)等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，進(jìn)而得到三角形COP與三角形BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形．

解答：解：（1）連接AC，如圖所示：
∵AC=2，OA=OB=OC=

1

2

AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=

1

2

∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到弧CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OBPC是菱形，
理由如下：
連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
則四邊形OBPC為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．