Question

4．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，請直接寫出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．

解答 解：（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；

（2）點P、Q在AB、BC邊上運動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC
∵∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°；

（3）如圖2，點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變．
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°，
即若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，∠QMC的度數(shù)為120°．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．解題時注意運用全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的性質(zhì)．