Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P，三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；

（2）操作：將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．

①       探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）

②       探究２：連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；

 

Answer 1

（1）證明過程見解析，（2）①相似   ②相似，理由見解析

解析:(1) 證明：∵在△ABC中，

∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°．

∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，

∴∠BPE+∠BEP=150°，

∴∠EPF=30°，

又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，

∴∠BPE+∠CPF=150°，

∴∠BEP=∠CPF，

∴△BPE∽△CFP（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．

（2）  ①相似   ②相似

解：①△BPE∽△CFP；②△BPE與△PFE相似．

下面證明結(jié)論：

同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 BP：BE=PF：PE．

又因為∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．