Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC上的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P處，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到如圖所示情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊AC于點(diǎn)F，連接EF，△BPE與△PFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件證明△BPE∽△CFP，可得出

PE

PF

=

BE

PB

，然后即可證明△BPE∽△PFE．

解答：相似．
證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BEP=∠EPC，∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠CPF．
∴△BPE∽△CFP．
∴

PC

PF

=

BE

PE

．
∵P為BC上的中點(diǎn)，
∴BP=PC，
∴

PB

PF

=

BE

PE

．
即

PE

PF

=

BE

PB

．
又∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定條件．