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        1. (2013•樂(lè)山模擬)如圖甲,AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分別為B、P、D,且三個(gè)垂足在同一直線上,我們把這樣的圖形叫“三垂圖”.

          (1)證明:AB•CD=PB•PD.
          (2)如圖乙,也是一個(gè)“三垂圖”,上述結(jié)論成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
          (3)已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)(0,-3),頂點(diǎn)為P,如圖丙所示,若Q是拋物線上異于A、B、P的點(diǎn),使得∠QAP=90°,求Q點(diǎn)坐標(biāo).
          分析:(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD,然后求出△ABP和△PCD相似,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得證;
          (2)與(1)的證明思路相同;
          (3)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式,根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C,設(shè)AQ與y軸相交于D,然后求出PC、AC的長(zhǎng),再根據(jù)(2)的結(jié)論求出OD的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
          解答:(1)證明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
          ∴∠B=∠D=90°,
          ∴∠A+∠APB=90°,
          ∵AP⊥PC,
          ∴∠APB+∠CPD=90°,
          ∴∠A=∠CPD,
          ∴△ABP∽△PCD,
          AB
          PD
          =
          PB
          CD
          ,
          ∴AB•CD=PB•PD;

          (2)AB•CD=PB•PD仍然成立.
          理由如下:∵AB⊥BD,CD⊥BD,
          ∴∠B=∠CDP=90°,
          ∴∠A+∠APB=90°,
          ∵AP⊥PC,
          ∴∠APB+∠CPD=90°,
          ∴∠A=∠CPD,
          ∴△ABP∽△PCD,
          AB
          PD
          =
          PB
          CD
          ,
          ∴AB•CD=PB•PD;

          (3)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
          ∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)(0,-3),
          a-b+c=0
          9a+3b+c=0
          c=-3
          ,
          解得
          a=1
          b=-2
          c=-3

          所以,y=x2-2x-3,
          ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
          ∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4),
          過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于C,設(shè)AQ與y軸相交于D,
          則AO=1,AC=1+1=2,PC=4,
          根據(jù)(2)的結(jié)論,AO•AC=OD•PC,
          ∴1×2=OD•4,
          解得OD=
          1
          2
          ,
          ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,
          1
          2
          ),
          設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0),
          -k+b=0
          b=
          1
          2

          解得
          k=
          1
          2
          b=
          1
          2
          ,
          所以,y=
          1
          2
          x+
          1
          2
          ,
          聯(lián)立
          y=
          1
          2
          x+
          1
          2
          y=x2-2x-3
          ,
          解得
          x1=
          7
          2
          y1=
          9
          4
          ,
          x2=-1
          y2=0
          (為點(diǎn)A坐標(biāo),舍去),
          所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(
          7
          2
          ,
          9
          4
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo),綜合題,但難度不大,根據(jù)同角的余角相等求出兩個(gè)角相等得到兩三角形相似是解題的關(guān)鍵.
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