Question

如圖，已知點(diǎn)C在⊙O上，延長(zhǎng)直徑AB到點(diǎn)P，連接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使△ABM的面積最大時(shí)，CM交AB于點(diǎn)N，求MN•MC的值．

Answer 1

（1）證明：連接BC，∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠COB=2∠PCB，∠BOC=2∠OAC，
∴∠CAB=∠BCP．
∴∠PCO=90°．
∴PC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）由題意知，M為

AMB

的中點(diǎn)，
過(guò)M作⊙O的直徑MD，連接CD，
∵AC=PC，
∴∠OAC=∠P．
∵∠BOC=2∠OAC，
∴∠BOC=2∠P．
∴∠P=30°．
∴2OC=OB+PB．
∴OB=3．
∵M(jìn)為

AMB

的中點(diǎn)，
∴OM⊥AB．
∵∠MON=∠MCD=90°，∠NMO=∠DMC，
∴△MNO∽△MDC．
∴

MN

MD

=

MO

MC

．
即MN•MC=MO•MD=3×6=18．