Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，∠BAC＝30°，點O為對角線AC上的動點（不與A、C重合），以點O為圓心在AC下方作半徑為2的半圓O，交AC于點E、F．

（1）當半圓O過點A時，求半圓O被AB邊所截得的弓形的面積；

（2）若M為的中點，在半圓O移動的過程中，求BM的最小值；

（3）當半圓O與矩形ABCD的邊相切時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）π﹣；（2）2﹣1；（3）2或7﹣．

【解析】

（1）設半圓O與AB交于H，過點O作ON⊥AB于N，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求AN＝NH＝2，∠AOH＝2∠AON＝120°，由扇形面積公式和三角形面積公式可求解；

（2）過點B作BP⊥AC于P，由題意可得點M在平行于AC且與AC的距離為1的直線上，則當點M在BF上時，BM有最小值，即可求解；

（3）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求解．

（1）如圖1，設半圓O與AB交于H，過點O作ON⊥AB于N，

∵AO＝2，∠BAC＝30°，ON⊥AB，

∴ON＝1，AN＝ON＝，∠AON＝60°，

∵OA＝OH，ON⊥AB，

∴AN＝NH＝2，∠AOH＝2∠AON＝120°，

∴半圓O被AB邊所截得的弓形的面積＝﹣×2×1＝π﹣；

（2）如圖2，過點B作BP⊥AC于P，

∵BC＝AD＝4，∠BAC＝30°，

∴AB＝BC＝4，AC＝2BC＝8，

∵BF⊥AC，∠BAC＝30°，

∴BF＝AB＝2，

∵M為的中點，

∴OM⊥AC，OM＝1，

∴點M在平行于AC且與AC的距離為1的直線上，

∴當點M在BF上時，BM有最小值，即最小值＝2﹣1；

（3）如圖，當半圓O與AB相切于點G，連接OG，

∴OG⊥AB，OG＝2，

∵∠CAB＝30°，

∴AO＝2OG＝4，

∴AE＝AO﹣OE＝4﹣2＝2；

當半圓O'與BC相切于點M，連接O'M，

∴O'M⊥BC，

∴O'M∥AB，

∴∠CO'M＝∠CAB＝30°，

∴O'C＝2×＝，

∴AE'＝8﹣1﹣＝7﹣，

綜上所述：AE的長為2或7﹣．