Question

3．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所對的邊b，c滿足b²+c²-4（b+c）+8=0．
（1）證明：△ABC是邊長為2的等邊三角形．
（2）若b，c兩邊上的中線BD，CE交于點(diǎn)O，求OD：OB的值．

Answer 1

分析 （1）由b²+c²-2（b+c）+2=0，可以判定b=c，∠A=60°可以確定△ABC是邊長為1的等邊三角形；
（2）連接DE，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB邊上的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，∴△DEO∽△BOC，即可得到答案．

解答 解：（1）∵b²+c²-4（b+c）+8=0，
∴（b-2）²+（c-2）²=0，
∴b=c=2，
又∵∠A=60°，
所以△ABC是邊長為2的等邊三角形；
（2）連接DE，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB邊上的中點(diǎn)，
所以DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE∥BC，
∴△DEO∽△BOC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查因式分解的應(yīng)用以及相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題的關(guān)在在于熟記公式的轉(zhuǎn)化和相似三角形的判定方法和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．