Question

如圖所示，梯形ABCD，AD∥BC，AB在y軸上，B在原點(diǎn)，BC在x軸上．
（1）若A（0，8），AD長(zhǎng)20cm，BC長(zhǎng)26cm，求梯形的一腰CD的長(zhǎng)度；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形；
②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形；
③當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形；

（3）用t表示四邊形PQCD的面積S，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，由題意，AB=8cm，AD=20cm，BC=26cm，
所以，BE=AD=20cm，故在Rt△DEC中，EC=6cm，DE=8cm，
即DC=10，即CD的長(zhǎng)度為10cm．
；
（2）由題意，P點(diǎn)到D所用時(shí)間為20s，Q點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為

26

3

．故Q點(diǎn)先到．
①根據(jù)題意，四邊形PQCD為直角梯形，即AP=BQ，
所以有t=26-3t；
解之t=

13

2

s．
②四邊形PQCD為平行四邊形，即CQ=PD，
即20-t=3t；
解之t=5s．
③過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，四邊形PQCD為等腰梯形，
即CD=PQ，在Rt△PFQ中，PF=AB=8cm，PQ=CD=10cm，故QF=6cm，
所以，BQ=26-3t，AP=t，BF=32-3t，
即，32-3t=t，
解得t=8s．符合題意．

（3）根據(jù)題意，PD=20-t，CQ=3t，AB為四邊形的高，且AB=8．
故S=

1

2

(20-t+3t)×8=4(20+2t)=80+8t．
由（2）知，Q點(diǎn)先到B點(diǎn)，
∴把t=

26

3

，代入公式，得S=

448

3

．
即最大值S=

448

3

．