Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

 

，

 

），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

 

，

 

）；
（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分別代入解析式求出A、B的坐標(biāo)，即可得出C、D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理求出CD，證△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有兩種情況：①以BM為腰時，滿足BP=BM的有兩個；過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，證△BME∽△BCM，求出BE、PE，進(jìn)一步求出OP即可；②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）y=-2x+2，
當(dāng)x=0時，y=2，
當(dāng)y=0時，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2，0），
故答案為：0，1，-2，0．

（2）由（1）可知：CD=

OD2+OC2

=

5

，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似），
∴

BM

DO

=

BC

DC

，
 即

BM

2

=

1

5

，
∴BM=

2

5

=

2

5

5

，
答：線段BM的長是

2

5

5

．                         

（3）存在，
分兩種情況討論：
①以BM為腰時，
∵BM=

2

5

5

，又點(diǎn)P在y軸上，且BP=BM，
此時滿足條件的點(diǎn)P有兩個，它們是P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

），
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
∵∠BMC=90°，則△BME∽△BCM，
∴

BE

BM

=

BM

BC

，
∴BE=

BM2

BC

=

4

5

，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=

4

5

，
∴BP=

8

5

，
∴OP=2-

8

5

=

2

5

，
此時滿足條件的點(diǎn)P有一個，它是P₃（0，

2

5

），

②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，
由（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中點(diǎn)，
∴BP=

1

2

BC=

1

2

，
∴OP=OB-BP=2-

1

2

=

3

2

，
此時滿足條件的點(diǎn)P有一個，它是P₄（0，

3

2

），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個，
它們是：P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

）、P₃（0，

2

5

）、P₄（0，

3

2

）．
答：存在，所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

）、P₃（0，

2

5

）、P₄（0，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查對一次函數(shù)的綜合題，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．