Question

（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)．
（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3

2

，求AG，MN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進(jìn)而證明角相等，從而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論．
（3）設(shè)出線段的長，結(jié)合方程思想，用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果．

解答：解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．（1分）
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=

1

2

∠BAD=45°．（2分）

（2）MN²=ND²+DH²．（3分）
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
又∵AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN．
∴MN=HN．（5分）
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH²=ND²+DH²．
∴MN²=ND²+DH²．（6分）

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．
設(shè)AG=x，則CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
解這個方程，得x₁=12，x₂=-2（舍去負(fù)根）．
即AG=12．（8分）
在Rt△ABD中，
∴BD=

AB2+AD2

=

2AG2

=12

2

．
在（2）中，MN²=ND²+DH²，BM=DH，
∴MN²=ND²+BM²．（9分）
設(shè)MN=a，則a2=(12

2

-3

2

-a)2+(3

2

)2．
即a ²=（9

2

-a） ²+（3

2

） ²，
∴a=5

2

．即MN=5

2

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識點(diǎn)等．