Question

點P是x軸正半軸的一個動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線y=

1

x

于點A，連接OA．
（1）如圖甲，當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小是否變化？若不變，請求出Rt△AOP的面積；若改變，試說明理由；
（2）如圖乙，在x軸上的點P的右側(cè)有一點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO交AP于點C，設(shè)△AOP的面積是S₁，梯形BCPD的面積為S₂，則S₁與S₂的大小關(guān)系是S1

S₂（選填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如圖丙，AO的延長線與雙曲線y=

1

x

的另一個交點為F，F(xiàn)H垂直于x軸，垂足為點H，連接AH，PF，試證明四邊形APFH的面積為一個常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）本題還可依據(jù)比例系數(shù)k的幾何意義，得出兩個三角形的面積都等于

1

2

|k|=

1

2

，因而當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小不變；
（2）根據(jù)（1）可以得到△BDO的面積，因而S₁＞S₂．

解答：解：（1）Rt△AOP的面積不變，S_△AOP=xy=x×

1

x

×

1

2

=

1

2

；

（2）根據(jù)△AOP的面積等于S₁，△BOD的面積大于S₂，S₁＞S₂；

（3）設(shè)A的坐標是（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)是中心對稱圖形，因而F點的坐標是（-a，-b），則AP=b，HP=2a，則四邊形APFH的面積是2ab，據(jù)（a，b）在雙曲線y=

1

x

的圖象上，因而ab=1，則四邊形APFH的面積是2ab=2．

點評：本題考查函數(shù)圖象交點坐標的求法及反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與其圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S=

1

2

|k|．