Question

（2013•深圳）如圖1，直線AB過點A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？
（2）如圖2，在（1）的條件下，函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象與直線AB相交于C、D兩點，若S△OCA=

1

8

S△OCD，求k的值．
（3）在（2）的條件下，將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設(shè)它與△OAB的重疊部分面積為S，請求出S與運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜10）．

Answer 1

分析：（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論可以求出點A點B的坐標(biāo)，就可以求出直線AB的解析式，根據(jù)雙曲線的對稱性就可以求出S_△OCD=S_△OAC的值，再由三角形的面積公式就可以求出其值；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性質(zhì)就可以求出就可以求出S_{△O′C′D′}和S_△O′CD的面積關(guān)系，從而可以求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵A（m，0），B（0，n），
∴OA=m，OB=n．
∴S_△AOB=

mn

2

．
∵m+n=20，
∴n=20-m，
∴S_△AOB=

m(20-m)

2

=-

1

2

m²+10m=-

1

2

（m-10）²+50
∵a=-

1

2

＜0，
∴拋物線的開口向下，
∴m=10時，S_最大=50；

（2）∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A（10，0），B（0，10），
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，由圖象，得

0=10k+b 10=b

，
解得：

k=-1 b=10

，
y=-x+10．
∵S△OCA=

1

8

S△OCD，
∴設(shè)S_△OCD=8a．則S_△OAC=a，
∴S_△OBD=S_△OAC=a，
∴S_△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S_△OAC=5，
∴

1

2

OA•y=5，
∴y=1．
1=-x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1=

k

9

，
∴k=9；

（3）∵C（9，1），
∴D（1，9）．
移動后重合的部分的面積是△O′C′D′，t秒后點O的坐標(biāo)為O′（t，0），
O′A=10-t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴

O′D′

O′D

=

O′A

O′E

=

10-t

10

，
∴

S△O′C′D′

S△O′CD

=(

O′D′

O′D

)2=(

10-t

10

)2
S=40•(

10-t

10

)2，
∴S=

2

5

t2-8t+40（0＜t＜10）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值的運用，反比例函數(shù)的圖象的對稱性的運用，相似三角形的相似比與面積之比的關(guān)系的運用，懂點問題直線問題的運用，解答時求出函數(shù)的解析式及交點坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．