Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），線段BC的中垂線與對稱軸l交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E，對稱軸l與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，⊙P與直線BC相切于點(diǎn)Q，與直線DE相切于點(diǎn)R．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）點(diǎn)M為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，在對稱軸l上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)D，P，M．N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線表達(dá)式為：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4；（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，1）；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（7，0）；（4）存在（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法問題可解；

（2）依據(jù)垂直平分線性質(zhì)，利用勾股定理構(gòu)造方程；

（3）由題意畫示意圖可以發(fā)現(xiàn)由兩種可能性，確定方案后利用銳角三角函數(shù)定義構(gòu)造方程，求出半徑及點(diǎn)P坐標(biāo)；

（4）通過分類討論畫出可能圖形，注意利用平行四邊形的性質(zhì)，同一對角線上的兩個端點(diǎn)到另一對角線距離相等．

（1）∵拋物線過點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）

∴設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a（x+4）（x﹣2）

把C（0，4）帶入得

4=a（0+4）（0﹣2）

∴a=﹣，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4

（2）由（1）拋物線對稱軸為直線x=﹣=﹣1，

∵線段BC的中垂線與對稱軸l交于點(diǎn)D，

∴點(diǎn)D在對稱軸上，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，m），

過點(diǎn)C做CG⊥l于G，連DC，DB，

∴DC=DB，

在Rt△DCG和Rt△DBH中

∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2

∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2

解得：m=1

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，1）；

（3）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）

∴BC=，

∵EF為BC中垂線

∴BE=

在Rt△BEF和Rt△BOC中，

cos∠CBF=,

∴,

∴BF=5，EF=，OF=3

設(shè)⊙P的半徑為r，⊙P與直線BC和EF都相切，

如圖：

①當(dāng)圓心P1在直線BC左側(cè)時，連P1Q1，P1R1，則P1Q1=P1R1=r1

∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°

∴四邊形P1Q1ER1是正方形

∴ER1=P1Q1=r1

在Rt△BEF和Rt△FR1P1中

tan∠1=，

∴，

∴r1=，

∵sin∠1=，

∴FP1=，OP1=，

∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為（，0）

②同理，當(dāng)圓心P2在直線BC右側(cè)時，

可求r2=，OP2=7

∴P2坐標(biāo)為（7，0）

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（7，0）

（4）存在，

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）時，

①若DN和MP為平行四邊形對邊，則有DN=MP

當(dāng)x=時，y=﹣，

∴DN=MP=

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，）

②若MN、DP為平行四邊形對邊時，M、P點(diǎn)到ND距離相等

則點(diǎn)M橫坐標(biāo)為﹣

則M縱坐標(biāo)為﹣，

由平行四邊形中心對稱性可知，點(diǎn)M到N的垂直距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)D的垂直距離，

當(dāng)點(diǎn)N在D點(diǎn)上方時，點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，

此時點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，），

當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，﹣），

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，0）時，所求N點(diǎn)不存在．

故答案為：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）