Question

【題目】已知：是的直徑，的延長線上有一點，是的切線，切點為，過點作，垂足為，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，是上的點，連接、，若，

求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點在上，點在上，連接和相交于點，延長到點，連接、，若，，，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接，由是的切線，可知，，然后通過直角三角形銳角互余和同弧所對的圓心角是圓周角的二倍即可得到答案；

（2）連接，過點作，垂足為，可知，，設，，得到，然后通過角度關系得到，從而可證，通過對應邊相等即可得到結論；

（3）設，通過條件推導出，延長到點，使，連接，通過和角度關系可得到，設，則，利用勾股定理求出，最后證出為等腰直角三角形，即得到．

（1）證明：如圖1，連接，

∵是的切線，

∴，

∴

∵，

∴

∵，

∴

∵和是弧所對的圓心角和圓周角

∴

∴

（2）證明：如圖2，連接，過點作，垂足為，

∴，

∵是的直徑，

∴

設，

∵

∴，即

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

（3）解：如圖3，設，

∵，

∴

∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∵，

∴

延長到點，使，連接，

∵，

∴

∴，

∵

∴

∴，

∴

設，則

在中，

在中，

∴

∴

在中，

連接，∵，

∴，

∴，

∴

∴為等腰直角三角形

∴