Question

已知⊙O的半徑OA=2，弦AB、AC的長分別是2

2

、2

3

，則∠CAB所夾的圓內(nèi)部分的面積=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩條弦的長分別求出兩條弦所對的圓心角的度數(shù)和兩條弦的弦心距，然后求出兩條弦所對的弓形的面積，進而分兩種情況分別求出兩弦所成的角所夾的圓內(nèi)部分的面積．

解答：解：如圖：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，連接OA，
∵AB=2

3

，AC=2

2

，
∴AD=

3

，AE=

2

，
∵OA=2，
∴OD=1，OE=

2

，
∴∠DOA=60°，∠AOE=45°，
∴∠COA=120°，∠AOB=90°，
∴S_弓形AC=S_扇形OAC-S_△OAC=

120π×22

360

-

2 3 ×1

2

=

4

3

π-

3

，
S弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

90π×22

360

-

2 2 × 2

2

=π-2，

∴①當兩條弦在圓心的異側時，如圖1，
∠CAB所夾的圓內(nèi)部分的面積=S_圓O-S_弓形AC-S_弓形AB=π×2²-（

4

3

π-

3

）-（π-2）=

5π

3

+2+

3

；
②當兩條弦在圓心的同側時，如圖2，
∠CAB所夾的圓內(nèi)部分的面積=S_弓形AC-S_弓形AB=（

4

3

π-

3

）-（π-2）=

π

3

+2-

3

．
故答案為：

5π

3

+2+

3

或

π

3

+2-

3

．

點評：本題考查了扇形及弓形面積的計算、垂徑定理及勾股定理的知識，正確的解題的關鍵是分兩種情況討論．