Question

如圖，已知⊙O的半徑OA=

5

，弦AB=4，點(diǎn)C在弦AB上，以點(diǎn)C為圓心，CO為半徑的圓與線段OA相交于點(diǎn)E．
（1）求cosA的值；
（2）設(shè)AC=x，OE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙C是否可能與⊙O相切？如果可能，請(qǐng)求出當(dāng)⊙C與⊙O相切時(shí)的AC的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，根據(jù)垂徑定理求得AD=2；然后利用三角函數(shù)值的定義求得cosA的值；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥OE，垂足為F．根據(jù)垂徑定理求得OF=

1

2

OE=

y

2

；然后在Rt△ACF中，由三角函數(shù)值的定義求得AF=AC•cosA=

2 5

5

x，再根據(jù)圖形知AF+OF=OA，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式
y=2

5

-

4 5

5

x；最后求定義域；
（3）在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD=1．當(dāng)⊙C與⊙O相切時(shí)，由垂徑定理求得OC的長(zhǎng)度，然后由勾股定理知CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，所以將其代入函數(shù)關(guān)系式，得到1²+（2-x）²=

5

4

；最后通過解方程知當(dāng)⊙C與⊙O相切時(shí)的AC的長(zhǎng)為

3

2

．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=

1

2

AB=2，（1分）
∴cosA=

AD

OA

=

2

5

=

2 5

5

．（1分）

（2）過點(diǎn)C作CF⊥OE，垂足為F，
∵OE是⊙C的弦，OF=

1

2

OE=

y

2

，
在Rt△ACF中，AF=AC•cosA=

2 5

5

x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴

2 5

5

x+

y

2

=

5

．（1分）
∴函數(shù)解析式為y=2

5

-

4 5

5

x．（1分）
函數(shù)定義域?yàn)?span id="nc5imiu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

5

4

≤x＜

5

2

．（1分）

（3）⊙C可能與⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD=

AO2-AD2

=

5-4

=1．
當(dāng)⊙C與⊙O相切時(shí)，OC=

1

2

OA=

5

2

，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=

5

4

．（1分）
∴x₁=

3

2

，x2=

5

2

．（1分）
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，⊙C與OA相切于點(diǎn)O，不符合題意．
∴當(dāng)⊙C與⊙O相切時(shí)的AC的長(zhǎng)為

3

2

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形以及勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．