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        1. (1997•海南)如圖,在直角坐標系xOy中,點A、B在x軸上,以AB為弦的⊙O與y軸相切于E點,E點的坐標為(0,2),AE的長為
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          (1)求A、B兩點的坐標;
          (2)若D點的坐標為(0,-8),拋物線y=ax2+bx+c過D、A、B三點,求這拋物線的解析式;
          (3)證明上述拋物線的頂點在⊙C上.
          分析:(1)先根據(jù)E點坐標求出OE的長,再由|AE|=
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          可得出OA的長,故可得出A點坐標,因為E是⊙C的切點,所以由切割線定理知|OE|2=|OA|•|OB|,故可得出OB的長,故可得出B點坐標;
          (2)設(shè)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-4)(a≠0),把點D的坐標代入求出a的值,故可得出所求拋物線的解析式;
          (3)由(2)中拋物線的解析式得出其頂點坐標,作AB的中垂線MN,與⊙C在第一象限相交于點M,與x軸相交于點N,則MN必過圓心C,且|ON|=
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          ,連接CE,由E是切點可知CE是⊙C的半徑,且CE⊥y軸,故四邊形ONCE是矩形,故可得出|EC|=|ON|=
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          ,|NC|=|OE|=2,再由CM是⊙C的半徑可知|CM|=|EC|=
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          ,故可得出MN的長度,由此可得出M點的坐標,因為點M與點P的坐標相同,所以這兩點重合,故可得出結(jié)論.
          解答:解:(1)∵E(0,2),
          ∴|OE|=2,
          又∵|AE|=
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          ,
          ∴|OA|=1,
          ∵A點在x軸上,
          ∴A(1,0),
          ∵E是⊙C的切點,由切割線定理知|OE|2=|OA|•|OB|,
          ∴|OB|=4,
          ∵B點在x軸上,
          ∴B(4,0),即所求A,B兩點的坐標分別為(1,0),(4,0);

          (2)設(shè)過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-4)(a≠0),
          把D(0,-8)代入上式,解得a=-2.
          故所求拋物線的解析式為y=-2x2+10x-8;

          (3)∵y=-2x2+10x-8=-2(x-
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          2+
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          ,
          ∴拋物線的頂點坐標為P(
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          ,
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          ),
          作AB的中垂線MN,與⊙C在第一象限相交于點M,與x軸相交于點N,則MN必過圓心C,且|ON|=
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          ,連接CE,
          ∵E是切點,
          ∴CE是⊙C的半徑,且CE⊥y軸,
          ∴四邊形ONCE是矩形,
          ∴|EC|=|ON|=
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          ,|NC|=|OE|=2,
          又∵CM是⊙C的半徑,
          ∴|CM|=|EC|=
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          ,
          ∴|MN|=
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          ∴M點的坐標為(
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          ,
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          2

          ∴點M與點P的坐標相同,即這兩點重合.
          ∴拋物線的頂點在⊙C上.
          點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到勾股定理、切割線定理、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及矩形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識,難度適中.
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          ≈1.1414
          3
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