Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求∠P的度數(shù)；
（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．

Answer 1

（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ACO，根據(jù)圓周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可證得∠A=∠ACO=∠PCB，再結(jié)合AB是⊙O的直徑即可作出判斷；（2）30°；（3）π+1

試題分析：（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ACO，根據(jù)圓周角定理可得∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，即可證得∠A=∠ACO=∠PCB，再結(jié)合AB是⊙O的直徑即可作出判斷；
（2）由PC=AC可得∠A=∠P，即有∠A=∠ACO=∠P，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可；
（3）由點(diǎn)M是半圓O的中點(diǎn)，可得CM是∠ACB的角平分線，即得∠BCM=45°，由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得BC==2，作BD⊥CM于D，可得CD=BD=BC=，則可得DM的長，從而可得CM的長，再根據(jù)扇形的面積公式及三角形的面積公式求解即可.
（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直徑   
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半徑  
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵PC=AC，
∴∠A=∠P   
∴∠A=∠ACO=∠P
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°  
∴3∠P=90°
∴∠P=30°；
（3）∵點(diǎn)M是半圓O的中點(diǎn)，
∴CM是∠ACB的角平分線，
∴∠BCM=45°
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，
∴BC==2
作BD⊥CM于D，

∴CD=BD=BC=，
∴DM=BD=
∴CM=+，
∴S_△BCM=CM•BD=+1
∵∠BOC=2∠A=60°
∴弓形BmC的面積=π－ 
∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為π+1．
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.