Question

如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問點(diǎn)C在BD上什么位置時(shí)，AC+CE的值最��？
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最�。�
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=24，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．

解答：解：（1）

(12-x) 2+25

+

x2+4

；

（2）當(dāng)點(diǎn)C是AE和BD交點(diǎn)時(shí)，AC+CE的值最�。�
∵AB∥ED，AB=5，DE=2，
∴

BC

CD

=

AB

DE

=

5

2

，
又∵BC+CD=BD=12，
則BC=

5

2

CD，CD=

2

5

BC，
∴CD+

5

2

CD=12，
解得：CD=

24

7

．
BC+

2

5

BC=12，
解得：BC=

60

7

，CD=

24

7

．
故點(diǎn)C在BD上距離點(diǎn)B的距離為

60

7

時(shí)，AC+CE的值最�。�

（3）如右圖所示，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，連接AE交BD于點(diǎn)C，
∵AE=AC+CE=

x2+9

+

(24-x)2+16

，
∴AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值．
過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=4，AF=BD=24．
所以AE=

AF2+EF2

=

242+(5+2) 2

=25，
即AE的最小值是25．
即代數(shù)式

x2+9

+

(24-x)2+16

的最小值為25．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最短路線問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．