Question

如圖，C為線段BD上一點（不與點B，D重合），在BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點F，AD與CE交于點H，BE與AC交于點G．
（1）求證：BE=AD；
（2）求∠AFG的度數(shù)；
（3）求證：CG=CH．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC．CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS證△BCE≌△ACD，推出AD=BE即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2．由三角形外角的定義得到：∠1+∠3=∠4=60°，則∠2+∠3=60°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求得∠AFG=60°；
（3）通過證明△ACH≌△BCG（ASA），來證得CG=CH（也可以通過證明△CGE≌△CHD）．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEC是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠4=∠5=60°，
∴∠4+∠6=∠5+∠6，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD    CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：∵由（1）知，△BCE≌△ACD，則∠1=∠2．
∵∠1+∠3=∠4=60°，
∴∠2+∠3=60°
∴∠AFG=60°；

（3）證明：∵∠4=∠5=60°
∴∠6=60°
∴∠6=∠4，
在△ACH與△BCG中，

∠6=∠4 AC=BC ∠2=∠1

，
∴△ACH≌△BCG（ASA），
∴CG=CH（也可以通過證明△CGE≌△CHD）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．