Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）若P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接PA，PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，連接AE、BE．

①根據(jù)題意畫圖，判斷B、C、E三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)BD＝8，△PBE的面積等于時(shí)，求PB的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①B、C、E三點(diǎn)共線，見解析；②PB為1或3或

【解析】

（1）根據(jù)正方形的判定定理證明；

（2）①根據(jù)題意畫出圖形；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APE為等腰直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△AOB為等腰直角三角形，證明△AOP∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°，得到答案；

②根據(jù)題意求出OB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=（4-PB），求出PH，根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算．

解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

∵∠BAD＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）①如圖，就是所畫的圖形 （圖②或圖③）結(jié)論：B、C、E三點(diǎn)共線.

理由：由畫圖得，PA＝PE，PA⊥PE，

∴∠PAE＝∠PEA＝45°，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA＝OB

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠PAE＝∠OAB，∠PEA＝∠OBA，

∴△PAE∽△OAB，

∴，

∵∠PAE＝∠OAB，

∴∠PAO＝∠EAB，

∴△PAO∽△EAB

∴∠POA＝∠EBA＝90°，

∴AB⊥BE，

∵∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴B、C、E三點(diǎn)共線；

②分兩種情況討論：

當(dāng)點(diǎn)P在線段OD上時(shí)，作PF⊥BC，如圖④，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∵AC＝BD＝8

∴AO＝B0＝4，AB＝

設(shè)PB＝x，則PO＝ x－4，

由①得△PAO∽△EAB，

∴，

∴

∴

由（1）得四邊形ABCD是正方形，且PF⊥BC，

得△PBF為等腰直角三角形，

∴PF＝

∴S＝（4≤x≤8），

解得，（舍去）；

當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，作PE⊥BD，如圖⑤，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∵AC＝BD＝8

∴AO＝B0＝4，AB＝

設(shè)PB＝x，則PO＝4－x，

由①得△PAO∽△EAB，

∴，

∴

∴

由（1）得四邊形ABCD是正方形，且PF⊥BC，

得△PBF為等腰直角三角形，

∴PF＝

∴S＝（0≤x＜4），

解得，；

綜上所述，當(dāng)PB為1或3或時(shí)，△PBE的面積等于．