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        1. 已知:a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊(a>b).二次函數(shù)y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的圖象的頂點(diǎn)在x軸上,且sinA、sinB是關(guān)于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的兩個(gè)根.
          (1)判斷△ABC的形狀,關(guān)說(shuō)明理由;
          (2)求m的值;
          (3)若這個(gè)三角形的外接圓面積為25π,求△ABC的內(nèi)接正方形(四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形三邊上)的邊長(zhǎng).

          解:(1)△ABC是直角三角形,理由如下:
          將y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2化簡(jiǎn),整理得:y=x2-2(a+b)x+2ab+c2
          ∵此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上,
          =0,
          整理,得a2+b2=c2
          ∴△ABC是直角三角形;

          (2)∵△ABC是直角三角形,∠C=90°,
          ∴∠A+∠B=90°,
          ∴sinB=cosA,
          ∴sinA、cosA是關(guān)于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的兩個(gè)根,
          ,
          又∵sin2A+cos2A=1,
          ∴(sinA+cosA)2-2sinA•cosA=1,
          ∴(2-2×=1,
          整理,得m2-24m+80=0,
          解得m1=20,m2=4.
          經(jīng)檢驗(yàn),m1=20,m2=4都是原方程的根,
          但是,當(dāng)m1=20時(shí),sinA+cosA>0,sinA•cosA>0,
          當(dāng)m2=4時(shí),sinA+cosA>0,sinA•cosA<0,舍去,
          ∴m=20;

          (3)∵△ABC的外接圓面積為25π,
          ∴外接圓半徑R=5,
          ∴斜邊c=10.
          當(dāng)m=20時(shí),原方程變?yōu)?5x2-35x+12=0,
          解得x1=,x2=,
          ∴a=8,b=6.
          設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x.
          圖1中,由EF:BC=AF:AC,得x:8=(6-x):6,
          解得x=;
          圖2中,CH=,
          CK:CH=DG:AB,(-x):=x:10,
          解得x=
          綜上可知,△ABC的內(nèi)接正方形(四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形三邊上)的邊長(zhǎng)為
          分析:(1)先由二次函數(shù)y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的圖象的頂點(diǎn)在x軸上,得到判別式△=0,進(jìn)而得到a2+b2=c2,再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形;
          (2)先利用互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系得到sinB=cosA,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到,然后利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求得m的值;
          (3)先由圓的面積公式求出△ABC的外接圓半徑R=5,則斜邊c=10,再將m=20代入方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0,
          得到25x2-35x+12=0,解方程求出x的值,進(jìn)而求得a=8,b=6.當(dāng)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的三邊上時(shí),分兩種情況進(jìn)行討論:①如圖1,正方形CDEF有兩條邊在△ABC的直角邊上;②如圖2,正方形DEFG有一條邊在△ABC的斜邊上.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理的逆定理,互余兩角、同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定難度.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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