Question

已知銳角△ABC中，BC=30，BC邊上的高h(yuǎn)=20
（1）如圖1，△ABC的內(nèi)接正方形的兩頂點在BC上，另兩頂點分別在AC，AB上，求這個正方形的面積；
（2）如圖2，點M在線段AB上（不同于A，B），MN∥BC交AC于N，以MN為邊向下作矩形MNPQ，且滿足MQ=2MN，設(shè)MN=x，矩形MNPQ和△ABC的公共部分的面積為y，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形的邊長為a，根據(jù)根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求解得到a，再根據(jù)正方形的面積公式計算即可得解；
（2）先根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列式求出QP在BC上時的x的值，然后分①PQ在△ABC內(nèi)部時，重疊部分的面積為矩形MNPQ的面積；②PQ在△ABC外部時，設(shè)矩形MNPQ在△ABC內(nèi)部的長為b，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式求解得到b，再根據(jù)矩形的面積列式整理得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．

解答：解：（1）如圖，設(shè)正方形的邊長為a，
∵正方形的對邊MN∥PQ，
∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

h-MQ

h

，
即

a

30

=

20-a

20

，
解得a=12，
∴這個正方形的面積=a²=12²=144；

（2）當(dāng)PQ在BC上時，∵M(jìn)N∥PQ，
∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

h-MQ

h

，
即

x

30

=

20-2x

20

，
解得x=7.5，
∴①PQ在△ABC內(nèi)部時，0＜x≤7.5，重疊部分的面積為矩形MNPQ的面積，
y=x•2x=2x²，
②PQ在△ABC外部時，7.5＜x＜30，設(shè)矩形MNPQ在△ABC內(nèi)部的長為b，
∵△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

h-b

h

，
即

x

30

=

20-b

20

，
解得b=20-

2

3

x，
∴y=x（20-

2

3

x）=-

2

3

x²+20x，
綜上所述，y與x的關(guān)系式為y=

2x2(0＜x≤7.5) - 2 3 x2+20x(7.5＜x＜30)

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的對邊平行且相等，正方形的對邊平行且相等的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式是解題的關(guān)鍵．