Question

（2013•婺城區(qū)一模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)P是邊AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點(diǎn)與E點(diǎn)重合，A點(diǎn)與F點(diǎn)重合，且P、E、F三點(diǎn)共線．

（1）若點(diǎn)E平分線段PF，則此時AQ的長為多少？
（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時AP的長為多少？
（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點(diǎn)A”這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以得出△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，就可以得出PA=PF，PB=PE，由點(diǎn)E平分線段PF就可以得出EF=PE=PB，可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值；
（2）由（1）的結(jié)論可以得出AP-PB=2，由AP+PB=4，以及EP-PF=2，PB-AP=2，解一個二元一次方程組解可以求出結(jié)論；
（3）如圖2，當(dāng)CE與點(diǎn)A在同一直線上△AEP∽△ABC，設(shè)AP=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；若CE與QE在同一直線上，如圖3，由AP=BP可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，
∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵點(diǎn)E平分線段PF，
∴EF=EP=PB．
∵AB=4，
∴PB=

4

3

，AP=

8

3

．
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴

QA

PB

=

AP

BC

，
∴

QA

4 3

=

8 3

2

∴QA=

16

9

； 

（2）由題意，得
EP-PF=2．
∴PB-AP=2，
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
由題意，得
PF-EP=2．
∴AP-PE=2，
∵AP+PB=4，
∴2AP=6，
∴AP=3，
故AP的長為1或3；

（3）①若CE與點(diǎn)A在同一直線上，則
△AEP∽△ABC
∴

AP

AC

=

PE

BC

，
設(shè)AP=x，
∴

x

2 5

=

4-x

2

∴x=5-

5

②如圖3，若CE與QE在同一直線上，則
∴EP=AP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．

點(diǎn)評：本題是一道四邊形綜合試題，考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時合理運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．