Question

如圖，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，B（2，0），經過A、B、C三點的拋物線y=

1

4

x²-2x+k與y軸交于點A，與x軸的另一個交點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙B是以點B為圓心，OB長為半徑的圓，以點D為圓心的⊙D與直線BC相切，請你通過計算說明：⊙B與⊙D的位置關系；
（3）在直線AD下方的拋物線上是否存在一點P，使四邊形APDC的面積最大？若存在，請你求出點P的坐標和四邊形APDC面積的最大值；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接將點B的坐標代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值．
（2）此題的關鍵是求出點D的坐標（由此得到BD的距離）以及⊙D的半徑，首先由拋物線的解析式求出點D的坐標，再連接圓心D與切點，通過構建的相似三角形來解．然后通過比較兩圓的半徑以及BD的長來得到兩圓的位置關系．
（3）由于∠ABC是直角，過點C作x軸的垂線，通過構建的相似三角形可以求出點C的坐標表達式，再代入拋物線的解析式中可確定點C的坐標，然后通過圖形間的面積和差關系求出△ADC的面積；若△APDC的面積最大，那么△APD的面積最大（因為△ADC的面積是定值），可先求出直線AD的解析式，然后過點D作y軸的平行線，交直線AD于Q，在表達出點P、Q的坐標后，可得到線段PQ的表達式，以PQ為底，點A、D橫坐標的差的絕對值為高，可求出△APD的面積，由此可得四邊形APDC的面積與點P的橫坐標函數(shù)關系式，根據函數(shù)的性質可求出四邊形APDC的最大面積以及此時點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

4

x²-2x+k經過點B（2，0），
∴

1

4

×4-2×2+k=0，k=3；
故拋物線的解析式：y=

1

4

x²-2x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（0，3）、D（6，0）；
設⊙D與直線BC的切點為E，連接DE，則 DE⊥BE；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠BDE=90°-∠DBE，又∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△BED，有：

AB

BD

=

OB

DE

，即

13

4

=

2

r

，r=

8

13

≈2.2；
∴2.2-2＜BD＜2.2+2，即r_D-r_B＜BD＜r_D+r_B
∴⊙B與⊙D的位置關系為相交．

（3）過點C作CF⊥x軸于點F，設點C（x，

1

4

x²-2x+3），則 CF=

1

4

x²-2x+3，BF=x-2；
同（2）可證得：Rt△AOB∽Rt△BFC，有：

AO

BF

=

OB

CF

，即

3

x-2

=

2

1 4 x2-2x+3

解得：x₁=2（舍）、x₂=

26

3

；
則C（

26

3

，

40

9

），CF=

40

9

，DF=OF-OD=

26

3

-6=

8

3

；
故S_△ADC=S_梯形AOFC-S_△AOD-S_△CDF
=

1

2

×（3+

40

9

）×

26

3

-

1

2

×3×6-

1

2

×

8

3

×

40

9

=

52

3

；
由A（0，3）、D（6，0）得，直線AD：y=-

1

2

x+3；
過點P作PQ∥y軸，交直線AD于點Q；設點P（x，

1

4

x²-2x+3），則Q（x，-

1

2

x+3），PQ=（-

1

2

x+3）-（

1

4

x²-2x+3）=-

1

4

x²+

3

2

x；
則S_△APD=

1

2

×PQ×OD=

1

2

×（-

1

4

x²+

3

2

x）×6=-

3

4

x²+

9

2

x；
則S_{四邊形APDC}=S_△ADC+S_△APD=-

3

4

x²+

9

2

x+

52

3

=-

3

4

（x-3）²+

289

12

；
綜上，當x=3，即 P（3，-

3

4

）時，四邊形APDC的面積最大，且最大值為

289

12

．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的應用、圓與圓的位置關系、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應用等重點知識；在解題過程中要注意數(shù)形結合思想的合理應用．