Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，連結DE，BE，且∠C＝∠BED．

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)若OA＝10，AD＝16，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝．

【解析】

（1）首先證明∠BAD=∠C，然后證明∠C+∠AOC=90°，即可證得∠OAC=90°，即OA⊥AC，從而得證；
（2）根據垂徑定理和勾股定理求出OF的長，再根據△OAF∽△OCA，得出比例式，從而求出AC的長．

解：(1)證明：∵∠BED＝∠BAD，∠C＝∠BED，

∴∠BAD＝∠C．

∵OC⊥AD于點F，

∴∠BAD＋∠AOC＝90°，

∴∠C＋∠AOC＝90°，

∴∠OAC＝90°．

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

(2)∵OC⊥AD于點F，

∴AF＝AD＝8，在Rt△OAF中，OF＝＝6．

∵∠AOF＝∠AOC，∠OAF＝∠C，

∴△OAF∽△OCA，

∴=，∴

∴AC＝．