Question

如圖,AB是☉O的直徑,AM和BN是☉O的兩條切線,E是☉O上一點,D是AM上一點,連接DE并延長交BN于點C,且OD∥BE,OF∥BN.

（1）求證:DE是☉O的切線.

（2）求證:OF ＝CD.

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）連接OE，由AM與⊙O相切，利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直，即∠OAD=90°，根據(jù)

OD∥BE，利用兩直線平行的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，一對同位角相等，再由OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OA=OE，OD為公共邊，利用SAS得出△AOD≌△EOD，利用全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等得到∠OED=90°，即OE⊥ED，即可得證；

（2）連接OC，由CD與CB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到一對直角相等，由OB=OE，OC為公共邊，利用HL得出兩直角三角形全等，進而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代換及平角定義得到∠COD=90°，即△COD為直角三角形，由OF∥BN，AM∥BN，得到三線平行，由O為AB的中點，利用平行線等分線段定理得到F為CD的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證．

試題解析：（1）連接OE,AM是☉O的切線,OA是☉O的半徑,

∴∠DAO=90°,

∵OD∥BE,

∴∠AOD=∠OBE,∠DOE=∠OEB,

∵OB=OE,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠AOD=∠DOE.

在△AOD和△DOE中

∴△AOD≌△EOD,

∴∠DAO=∠DEO=90°,

∴DE與☉O相切.

（2）∵AM和BN是☉O的兩切線,

∴MA⊥AB,NB⊥AB,

∴AD∥BC,

∵O是AB的中點,OF∥BN,

∴OF∥AD且OF=（AD+BC）.

∵DE切☉O于點E,

∴DA=DE,CB=CE,

∴DC=AD+CB,

∴OF=CD.

考點：切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線等分線段定理