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        1. 【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AC為對角線,過點DDEDC交直線AB于點E,過點EEHAD于點H,過點BBFAD于點F

          1)如圖1,若∠BAD60°AF3,AH2,求AC的長;

          2)如圖2,若BFDH,在AC上取一點G,連接DG、GE,若∠DGE75°,∠CDG45°﹣∠CAB,求證:DGCG

          【答案】1AC2;(2)證明見解析.

          【解析】

          1)注意到∠CBA120°,于是作AMCBM,先求出CMAM的長度,再由勾股定理算出AC長度.

          2)由已知條件可以直接判斷出△DEH≌△BAF,然后可推出CDDE,于是連接CE,作ENACN,連接DN,可以證明△DGN是等腰直角三角形以及△CDG≌△EDN,注意到∠EGD75°,從而∠EGN30°,所證結(jié)論就自然成立了.

          1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          ADBCADBC,CDAB,CDAB,

          BFADF

          ∴∠AFB90°,

          ∵∠BAD60°,

          AB2AF6,BFAF3,

          EHADH,

          AE2AH4EHAH2,

          DEDCABE

          ∴∠DEA90°,

          AD2AE8

          CBAD8,

          如圖1,作AMCBM,則∠ABM=∠BAD60°,

          BM=(1/2AB3AMBM3,

          CMCB+BM11

          RtACM中:AC2

          2)如圖2,作ENACN,連接DNCE,則∠CNE90°

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

          ADBC,ADBC,CDAB,CDAB

          DEDCABE,

          ∴∠CDE=∠DEA90°,

          EHADH,

          ∴∠DHD=∠EHA90°

          BFADF,

          ∴∠DFB=∠AFB90°,

          ∴∠DHE=∠BFA

          ∵∠DEH+HEA=∠HEA+BAF90°,

          ∴∠DEH=∠BAF,

          DHBF,

          ∴△DEH≌△BAFAAS),

          DEBACD,

          ∴△CDE是等腰直角三角形,∠DCE=∠DEC45°,

          ∵∠CDE=∠CNE90°

          C、D、NE四點共圓,

          ∴∠DNC=∠DEC45°

          ∵∠CDG45°﹣∠CAB,

          ∴∠CDG+CAB45°,

          CDAB

          ∴∠CAB=∠DCG,

          ∴∠DGN=∠DCG+CDG45°=∠DNC

          ∴△DGN是等腰直角三角形,∠GDN90°,DGDN,

          ∵∠CDG+GDE=∠GDE+EDN90°,

          ∴∠CDG=∠EDN

          ∴△CDG≌△EDNSAS),

          ENCG,

          ∵∠CGD75°,

          ∴∠CGN=∠CGD﹣∠DGN30°

          GNENCG,

          DGGNCG

          練習冊系列答案
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          C.10D.10

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