Question

已知拋物線(xiàn)的形狀與拋物線(xiàn)相同，且對(duì)稱(chēng)軸為，交x軸于A、D兩點(diǎn)（A在D左邊），交y軸于B（0，-4）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖（1），E為拋物線(xiàn)上在第二象限的點(diǎn)，連OE、AE，將線(xiàn)段OE沿射線(xiàn)EA平移，使E與A對(duì)應(yīng)，O與C對(duì)應(yīng)，設(shè)四邊形OEAC的面積為S，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)E，使S=24？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)，并進(jìn)一步判斷此時(shí)四邊形OEAC的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖（2），在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)E（x_E，y_E），C（x_C，y_C），當(dāng)E點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列兩個(gè)結(jié)論：①|(zhì)x_E|+|x_C|的值不變；②|y_E|+|y_C|的值不變，有且只有一個(gè)正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論并證明求值．

Answer 1

解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=-（x+）²+c，
將B（0，-4）代入解析式得，-4=-（0+）²+c，
解得，c=，
函數(shù)解析式為y=-（x+）²+；

（2）依題意知OE平行且等于AC，
∴四邊形OEAC為平行四邊形，
又∵OA為平行四邊形OEAC的對(duì)角線(xiàn)，
∴S_?OECA=2•S_△AEO=24，即S_△AEO=12，
∴•OA•|y_E|=12，
又∵A（-6，0），OA=6，
y_E=-（x+）²+，
∴×6×[-（x+）²+]=12，
解得，x₁=-3，x₂=-4，
∴E₁（-3，4）或E₂（-4，4），
∴這樣的點(diǎn)有兩個(gè)．
當(dāng)E₁（-3，4）時(shí)，有AE=OE，此時(shí)平行四邊形為菱形
當(dāng)E₂（-4，4）時(shí)，AE≠OE，AE不垂直于OE，此時(shí)四邊形OEAC為平行四邊形；

（3）|x_E|+|x_C|的值不變，|x_E|+|x_C|=6，
證明：過(guò)E作EM⊥AO于M，過(guò)C作CN⊥AO于N，

則|x_E|=OM，|x_C|=ON，
∵四邊形OEAC是平行四邊形，
∴OE∥AC，OE=AC，
∴△EMO≌△CNA，
∴OM=AN，
∴OM+ON=AN+ON=OA=6，即|x_E|+|x_C|=6．
分析：（1）設(shè)出函數(shù)頂點(diǎn)式，將B（0，-4）代入解析式即可；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，根據(jù)S=24得到S_?OECA=2•S_△AEO=24，即S_△AEO=12，然后將坐標(biāo)代入求解即可．
（3）過(guò)E作 EM⊥AO于M，過(guò)C作CN⊥AO于N，將OM+ON轉(zhuǎn)化為AN+ON=OA=6即可解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，對(duì)于存在性問(wèn)題，先假設(shè)其存在，然后求解，若能的出結(jié)果，則存在，否則不存在．