Question

（1）如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，F(xiàn)C∥AB，DF交AC于點E，DE=EF．求證：E是AC的中點．
（2）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADF=∠F，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CE，從而得證；
（2）先求出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據角平分線的定義以及平行線的性質求出∠ADF=∠FAD，根據等角對等邊可得AF=FD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證．

解答：（1）證明：∵FC∥AB，
∴∠ADF=∠F，
在△ADE和△CEF中，

∠ADF=∠F DE=EF ∠AED=∠CEF

，
∴△ADE≌△CEF（ASA），
∴AE=CE，
即E是AC的中點；

（2）證明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，且∠EAD=∠ADF，
又∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴AF=FD，
∴四邊形AEDF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，比較簡單，主要涉及鄰邊相等的平行四邊形是菱形，熟練掌握平行四邊形與菱形的關系是解題的關鍵．