Question

【題目】如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)，則平面內(nèi)存在直線l，使點(diǎn)M，B，到該直線的距離都相等．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出直線的解析式．（k，b可用含m的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）①或，②直線l的解析式為,或.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)解析式；
（2）①由PM⊥x軸可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠MPC=90°時(shí)，PC∥x軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D，易證△AOC∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PC的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上，此問(wèn)得解；
②利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B，M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M，B，B′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可分別求出直線BM，B′M和BB′的解析式，利用平行線的性質(zhì)可求出直線l的解析式．

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，，

解得：，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

將，代入，得：

，解得：，

拋物線的解析式為．

（2）①軸，

，

分兩種情況考慮，如圖1所示．

（i）當(dāng)時(shí)，軸，

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2．

當(dāng)時(shí)，，

解得：，，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D．

，，

．

又，

，

，即，

，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

設(shè)直線PC的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

直線PC的解析式為．

聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：，，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

綜上所述：當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

②當(dāng)y=0時(shí)，,

解得：x1=-4，x2=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)B，B′關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-2，-4）．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠2），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

利用待定系數(shù)法可求出：直線BM的解析式為，直線B′M的解析式為，直線BB′的解析式為y=x-2．
分三種情況考慮，如圖2所示：

當(dāng)直線l∥BM且過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為,

當(dāng)直線l∥B′M且過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線l的解析式為,

當(dāng)直線l∥BB′且過(guò)線段CM的中點(diǎn)時(shí)，直線l的解析式為,

綜上所述：直線l的解析式為,或.