Question

如圖1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數(shù)式表示AE=

5-t

．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為矩形．
（3）如圖2，當(dāng)t為何值時(shí)，平行四邊形AQPD為菱形．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四邊形對角線互相平分表示出線段AE即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）利用菱形的性質(zhì)得到．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度均為2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四邊形AQPD為平行四邊形，
∴AE=

1

2

AP=5-t；

（2）當(dāng)?AQPD是矩形時(shí)，PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC  
∴

QA

AP

=

AC

AB

即

2t

10-2t

=

8

10

 
解之  t=

20

9

∴當(dāng)t=

20

9

時(shí)，?AQPD是矩形；

（3）當(dāng)?AQPD是菱形時(shí)，DQ⊥AP，
則 COS∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

   
即 

5-2t

2t

=

4

5

解之  t=

25

13

∴當(dāng)t=

25

13

時(shí)，□AQPD是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合知識，正確的利用平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)得到正方形是解決本題的關(guān)鍵．