Question

如圖1．已知Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，M是斜邊AB上的一個動點，垂足為H，以MH為對角線作菱形MPHQ，其中，頂點P始終在斜邊AB上．連接PQ并延長交AC于點E，以E為圓心，EC長為半徑作⊙E．
（1）∠PMQ的度數是

60°

．
（2）如圖2，當點Q在⊙E上時，求證：點Q是Rt△ABC的內心．
（3）當⊙E與菱形MPHQ邊所在的直線相切時，求BM的值．

Answer 1

分析：（1）根據平行線MH∥AC的性質推知∠A=∠BMH，則易求∠PMQ=2∠A；
（2）如圖1，過Q點作QF⊥BC于點F，連接BQ．欲證明點Q是Rt△ABC的內心，只需證明點Q是∠ACB的平分線與∠ABC的平分線的交點；
（3）設⊙E的半徑為r．需要分類討論：①如圖2，設⊙E與直線HQ相切于點N，直線HQ交AC于點D，連接EN．構建平行四邊形AMHD，由平行四邊形的性質、（2）中的正方形CEQF的性質推知AD=MH=2r；然后根據含30度角的Rt△DEN的性質求得AC=AD+DE+EC=5r，結合Rt△ABC的AC的值求得r的值；最后在Rt△MHB中利用勾股定理求得BM的值；
②如圖3，設⊙E與直線AB相切于點G，連接EG．利用含30度角的直角三角形的性質來求BM的值．

解答：解：（1）∵MH⊥BC，AC⊥BC，
∴MH∥AC，
∴∠A=∠BMH=30°．
又∵線段MH、PQ是菱形MPHQ的對角線，
∴∠QMH=∠PMH=30°，
∴∠PMQ=∠60°．
故填：60°；

（2）如圖1，過Q點作QF⊥BC于點F，連接BQ．
∵AC⊥BC，∴QF∥AC，
∵四邊形MPHQ是菱形，
∴PE⊥MH，
又∵BC⊥MH，∴PE∥BC，
∴四邊形CEQF是矩形，又∵EC=EQ，
∴四邊形CEQF是正方形，
∴QE=QF，即點Q在∠ACB的平分線上．
∵在菱形MPHQ中，∠PMQ=60°，
∴△MPQ和△PHQ都是等邊三角形，
∴QP=QH，
又∵PE∥BC，HQ∥MP，
∴四邊形BPQH是菱形，
∴BQ平分∠ABC，
∴點Q為Rt△ABC的內心；

（3）∵⊙E、菱形MPHQ都是關于直線PE對稱，
∴⊙E與直線HQ、直線MQ同時相切；或與直線PM、直線PH同時相切，
∴分兩種情況考慮：
①如圖2，設⊙E與直線HQ相切于點N，直線HQ交AC于點D，連接EN．
則EN⊥DH，四邊形CHOE是矩形．
設⊙E的半徑為r，則MH=2OH=2r，
由（2）得：MH∥AC，HQ∥AB，
∴四邊形AMHD是平行四邊形，
∴AD=MH=2r，
在Rt△DEN中，∠EDN=∠A=30°，
∴DE=2EN=2r，
∴AC=AD+DE+EC=5r．
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=

1

2

AB=1，∴AC=

22-12

=

3

，
∴r=

3

5

，∴MH=

2 3

5

，
∵在Rt△MHB中，∠MHB=90°，∠BMH=∠A=30°，
∴BM2-(

1

2

BM)2=MH2=

12

25

，
∴BM=

4

5

；
②如圖3，設⊙E與直線AB相切于點G，連接EG，
∴EG⊥AB，又∠A=30°，
∴AE=2EG=2r，
∵AC=AE+EC=3r，
∴3r=

3

，r=

3

3

，
∴MH=

2 3

3

，
∴BM2-(

1

2

BM)2=MH2=

4

3

，
∴BM=

4

3

，
綜上所述，當⊙E與菱形MPHQ邊所在的直線相切時，BM的值為

4

5

或

4

3

．

點評：本題考查了圓的綜合題．解答（3）題時，一定要分類討論，以防漏接．再者，根據圓與菱形的軸對稱性推知：⊙E與直線HQ、直線MQ同時相切；或與直線PM、直線PH同時相切，是解題的關鍵．