Question

如圖1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．過點A作AE⊥AB，且AE=15，連接BE交AC于點P．
（1）求PA的長；
（2）以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷BE與⊙A是否相切，并說明理由；
（3）如圖2，過點C作CD⊥AE，垂足為D．以點A為圓心，r為半徑作⊙A；以點C為圓心，R為半徑作⊙C．若r和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持⊙A和⊙C相切，且使D點在⊙A的內部，B點在⊙A的外部，求r和R的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知，可判定△APE∽△CPB，從而得到相似比為PA：PC=AE：BC=3：1；
（2）BE與⊙A相切，通過已知，可求得∠ABE=60°，從而可得到∠APB=90°，即BE與⊙A相切；
（3）已知AD=5，AB=5

3

，所以r的變化范圍為5＜r＜5

3

．因為沒有說明兩圓是內切還是外切，所以分兩種情況進行分析．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AC=2BC=10；
∵AE∥BC，
∴△APE∽△CPB，
∴PA：PC=AE：BC=3：1，
∴PA：AC=3：4，PA=

3×10

4

=

15

2

．

（2）BE與⊙A相切；
∵在Rt△ABE中，AB=5

3

，AE=15，
∴tan∠ABE=

AE

AB

=

15

5 3

=

3

，
∴∠ABE=60°；
又∵∠PAB=30°，
∴∠ABE+∠PAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴BE⊥AP
∴BE與⊙A相切；

（3）因為AD=5，AB=5

3

，所以r的變化范圍為5＜r＜5

3

；
當⊙A與⊙C外切時，R+r=10，所以R的變化范圍為10-5

3

＜R＜5；
當⊙A與⊙C內切時，R-r=10，所以R的變化范圍為15＜R＜10+5

3

．

點評：本題主要考查切線性質、圓與圓的位置關系等知識．第3小題注意要分類，試題中只說明了“⊙A和⊙C相切”，很多同學漏解，往往是由于沒有仔細讀題和審題．