Question

如圖1，直線l₁：y=2x與直線l₂：y=-3x+6相交于點(diǎn)A，直線l₂與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y=n分別交直線l₁、直線l₂于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在Q的左側(cè)）
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（

6

5

，

12

5

）

；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在線段AO上，在x軸上是否存在一點(diǎn)H，使得△PQH為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖2．若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，向下作等腰直角△PQF，設(shè)△PQF與△AOB重疊部分的面積為S，求S與n的函數(shù)關(guān)系式；并注明n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩直線相交的性質(zhì)，使兩式相等即可得出答案；
（2）首先表示出PQ的長度，進(jìn)而得出當(dāng)PH=HQ且∠PHQ=90°時以及 當(dāng)PH=PQ時△PQH為等腰直角三角形，分別求出即可；
（3）分別根據(jù)當(dāng)

6

11

≤n＜

6

5

時以及當(dāng)0≤n＜

18

11

時表示出△PQF與△AOB重疊部分的面積即可．

解答：解：（1）∵直線l₁：y=2x與直線l₂：y=-3x+6相交于點(diǎn)A，
∴2x=-3x+6，
解得：x=

6

5

，
∴y=

12

5

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

6

5

，

12

5

）；

（2）令y=n，則n=2x，
∴x=

1

2

n，
∴點(diǎn)P（

1

2

n，n），
n=-3x+6，
∴x=2-

1

3

n，
∴點(diǎn)Q（2-

1

3

n，n），
∴PQ=2-

1

3

n-

1

2

n=2-

5

6

n，
作PH⊥x軸于H，如圖1． 當(dāng)PH=PQ時△PQH為等腰直角三角形，
∴2-

5

6

n=n，
n=

12

11

，

1

2

×

12

11

=

6

11

，
∴H₁（

6

11

，0），
作QH⊥x軸于H，如圖（備用圖），當(dāng)QH=PQ時△PQH為等腰直角三角形，
同理可得n=

12

11

2-

1

3

×

12

11

=

18

11

，
∴H₂（

18

11

，0），
當(dāng)PH=HQ且∠PHQ=90°時，△PQH為等腰直角三角形HG⊥PQ，可得PQ=2HG，
∴2-

5

6

n=2n，n=

12

17

，

1

2

×

12

17

=

6

17

，2-

1

3

×

12

17

=

30

17

，
  

1

2

(

6

17

+

30

17

)=

18

17

，
∴H₃（

18

17

，0），
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為（

6

11

，0），（

18

11

，0），（

18

17

，0）；

（3）當(dāng)

6

11

≤n＜

6

5

時，
∴S=

1

2

PQ2=

1

2

(2-

5

6

n)2，
當(dāng)0≤n＜

18

11

時，2-

5

6

n-n=2-

11

6

n，
∴S=

1

2

(2-

5

6

n+2-

11

6

n)•n=-

4

3

n2+2n．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．