Question

（2013•朝陽區(qū)一模）如圖，拋物線y=-

3

4

x²+c與x軸分別交于點(diǎn)A、B，直線y=-

3

4

x+

3

2

過點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)E，并與拋物線y=-

3

4

x²+c相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=-

3

4

x²+c的解析式；
（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)A、B重合），同時，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動多少時間時，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求出c的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出sin∠EBO，過點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，繼而可表示出NF，根據(jù)S_△MNB=

1

2

BM×NF，可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求出最大值．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

4

x+

3

2

過點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：0=-

3

4

×2²+c，
解得：c=3；
（2）聯(lián)立拋物線及直線解析式可得：

y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x=2 y=0

或

x=-1 y= 9 4

，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，

9

4

）．
（3）由直線解析式可得點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，

3

2

），
在Rt△BOE中，BE=

OE2+OB2

=

5

2

，
則sin∠EBO=

OE

BE

=

3

5

，
過點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為t秒，則AM=t，BN=2t，
則BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=

6

5

t，
S_△MNB=

1

2

BM×NF=

1

2

（4-t）×

6

5

t=-

3

5

t²+

12

5

t=-

3

5

（t-2）²+

12

5

（0＜t＜4），
故當(dāng)t=2時，S取得最大，最大值為

12

5

．
綜上可得：S=-

3

5

t²+

12

5

t，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動2秒時，△MNB的面積最大，最大面積是

12

5

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在第三問，需要同學(xué)們利用三角函數(shù)的知識表述出△MNB的高，這類題目一般以壓軸題出現(xiàn)，同學(xué)們應(yīng)注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．