Question

如圖矩形OABC，AB=2OA=2n，分別以O(shè)A和OC為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接OB，沿OB折疊，使點(diǎn)A落在P處．過(guò)P作PQ⊥y軸于Q．
（1）求OD：OA的值；
（2）以B為頂點(diǎn)的拋物線：y=ax²+bx+c，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與直線OB相交于E，過(guò)E作EF⊥y軸于F，試判斷2•PQ•EF與矩形OABC面積的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，可得∠ABO=∠BOC，BD=DO；設(shè)DO=k，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理，易得OD的值，進(jìn)而可得OD：OA的值；
（2）將解析式化為頂點(diǎn)式，將D的坐標(biāo)代入可得a的值，與直線OB的方程聯(lián)立可得△BDC∽△PDQ，有相似三角形的性質(zhì)，可得出證明．

解答：證明：（1）在矩形OABC中AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
根據(jù)題中的折疊得∠PBO=∠ABO，
∴∠PBO=∠BOC，
∴BD=DO，
設(shè)DO=k，則DB=k
在Rt△BCD中BC=n，DC=2n-k，BD=k
∴（2n-k）²+n²=k²，
∴OD=

5

4

n，OD：OA=

5

4

．

（2）設(shè)以B為頂點(diǎn)的拋物線為y=a（x-n）²+2n，
把D（0，n）代入，
得a=

-3

4n

，
∴y=

-3

4n

（x-n）²+2n=

-3

4n

x²+

3

2

x+

5

4

n，直線OB為y=2x，二者聯(lián)立，
得E（-

5

3

n，-

10

3

n），
∴EF=

5

3

n，根據(jù)PQ⊥y軸于Q，∠BCO=90°，
得△BDC∽△PDQ，通過(guò)BD=OD=

5

4

n，
得PD=

3

4

n，
∴

PD

BD

=

3

5

=

PQ

PC

=

PQ

n

∴PQ=

3

5

n，
∴2•PQ•EF=2n²即矩形OABC面積．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．